Die Laplace-Transformation ist eine Integraltransformation, die eine Funktion der Zeit t (oft für t ≥ 0) in eine Funktion einer komplexen Variable s umwandelt. Sie wird häufig zur Lösung von Differentialgleichungen verwendet, insbesondere in der Elektrotechnik, Regelungstechnik und Physik. Im Wesentlichen wandelt sie ein Problem im Zeitbereich in ein algebraisches Problem im Frequenzbereich um, welches oft einfacher zu lösen ist. Nach der Lösung im Frequenzbereich kann die Inverse Laplace-Transformation verwendet werden, um die Lösung zurück in den Zeitbereich zu transformieren.
Definition:
Die Laplace-Transformation einer Funktion f(t), definiert für alle reellen Zahlen t ≥ 0, ist definiert als:
F(s) = ∫₀^∞ e^(-st) f(t) dt
wobei:
Wichtige Eigenschaften und Themen:
Linearität: Die Laplace-Transformation ist linear, d.h., die Transformation einer Linearkombination von Funktionen ist die Linearkombination der Transformationen. https://de.wikiwhat.page/kavramlar/Linearität
Differentiation: Die Laplace-Transformation einer Ableitung einer Funktion ist eng mit der Laplace-Transformation der ursprünglichen Funktion verbunden. Dies ist besonders nützlich bei der Lösung von Differentialgleichungen. https://de.wikiwhat.page/kavramlar/Differentiation
Integration: Ähnlich wie bei der Differentiation gibt es auch eine Eigenschaft für die Integration. https://de.wikiwhat.page/kavramlar/Integration
Zeitverschiebung (Time Shifting): Die Laplace-Transformation von f(t-a) hängt mit der Transformation von f(t) zusammen. https://de.wikiwhat.page/kavramlar/Zeitverschiebung
Frequenzverschiebung (Frequency Shifting): Die Laplace-Transformation von e^(at)f(t) hängt mit der Transformation von f(t) zusammen. https://de.wikiwhat.page/kavramlar/Frequenzverschiebung
Inverse Laplace-Transformation: Der Prozess, eine Funktion F(s) zurück in ihre ursprüngliche Zeitbereichsfunktion f(t) zu konvertieren. https://de.wikiwhat.page/kavramlar/Inverse%20Laplace-Transformation
Existenzbedingungen: Nicht jede Funktion hat eine Laplace-Transformation. Die Funktion muss bestimmte Bedingungen erfüllen (z.B. exponentiell beschränkt sein). https://de.wikiwhat.page/kavramlar/Existenzbedingungen
Anwendungen: Regelungstechnik, Elektrotechnik (Schaltungsanalyse), Lösung von Differentialgleichungen, Wahrscheinlichkeitstheorie. https://de.wikiwhat.page/kavramlar/Anwendungen
Vorteile:
Nachteile:
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